Lottoglück, oder wie wahrscheinlich ist ein Gewinn?

Einleitung

Wer träumt nicht davon den großen Gewinn im Lotto einzufahren. Doch stattdessen: Von vielen verhöhnt "Weißt Du eigentlich wie unwahrscheinlich ein Sechser im Lotto ist?", und nach jeder Ziehung ein wenig frustriert. Da stellt sich doch die Frage: Wie wahrscheinlich ist eigentlich ein Gewinn im Lotto 6 aus 49? Nachfolgend sollen einige Fakten aufgezeigt, und noch viel wichtiger, der Weg zu den Fakten erläutert werden. Übrigens, das Argument es sei wahrscheinlicher vom Blitz erschlagen zu werden, als 6 Richtige im Lotto zu haben, ist zwar weit verbreitet aber definitiv falsch. Zwar werden Blitzschläge nicht statistisch erfaßt, aber alle Quellen deuten auf weniger als 10 Blitzschlagopfer pro Jahr hin. (siehe hierzu auch: wikipedia )
Zum Vergleich: Im Jahre 2005 gab es 29 x 6 Richtige plus Superzahl und 292 x 6 Richtige.

Wieviel Kombinationen gibt es bei 6 aus 49?

Die Berechnung hierfür kommt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Aus n Ziffern werden k Ziffern ausgewählt. Jede ausgewählte Ziffer darf nur einmal vorkommen. Dann gilt:

Anzahl der Kombinationen =
n x (n - 1) x (n - 2) x ... x (n - k + 1) / ( 1 x 2 x 3 x ... x k)

Konkret: 49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 / ( 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6)

Als Ergebnis erhält man: 13.983.816 Kombinationen.

Wie ermittelt man die Kombinationen?

Nun, hier hilft etwas Logik: Die Reihenfolge, also wann wurde welche Zahl gezogen, spielt keine Rolle. (Die Zusatzzahl wollen wir erst einmal nicht berücksichtigen.)
Nun ist klar, daß die "niedrigste" Kombination folgende wäre: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Die "höchste" Kombination wäre folglich: 44, 45, 46, 47, 48, 49. Nun ist nur der Bereich dazwischen zu füllen.

Als Randbedingungen gelten: Die letzte Zahl kann max. 49 sein, die vorletzte Zahl max. 48, die drittletzte 47, die viertletzte 46, die fünftletzte 45 und die sechstletzte 44.

Nun starten wir mit der "niedrigsten" Kombination 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dies ist die erste Kombination. Nun zählen wir die letzte Stelle hoch, also von 6 bis 49. Wir erhalten also 1, 2, 3, 4, 5, 6 bis 49. Nun zählen wir die vorhergehende Zahl hoch, also 1, 2, 3, 4, 5 bis 48, vorhergehende Zahl +1 bis 49. Genauso verfahren wir auch mit den restlichen vorhergehenden Zahlen. Als abstrakte Programmanweisung erhält man:

Startzahl_1 = 1
Startzahl_2 = 2
Startzahl_3 = 3
Startzahl_4 = 4
Startzahl_5 = 5
Startzahl_6 = 6

Endzahl_1 = 44
Endzahl_2 = 45
Endzahl_3 = 46
Endzahl_4 = 47
Endzahl_5 = 48
Endzahl_6 = 49

Stopwert = False

Durchlaufe folgende Schleife solange, bis Stopwert = True

   Wenn Gesamtzähler > 0 Then
   Startzahl_6 = Startzahl_6 + 1
   Ende Wenn

   Wenn Startzahl_6 > Endzahl_6 Then
   Startzahl_5 = Startzahl_5 + 1
   Startzahl_6 = Startzahl_5 + 1
   Ende Wenn

   Wenn Startzahl_5 > Endzahl_5 Then
   Startzahl_4 = Startzahl_4 + 1
   Startzahl_5 = Startzahl_4 + 1
   Startzahl_6 = Startzahl_5 + 1
   Ende Wenn

   Wenn Startzahl_4 > Endzahl_4 Then
   Startzahl_3 = Startzahl_3 + 1
   Startzahl_4 = Startzahl_3 + 1
   Startzahl_5 = Startzahl_4 + 1
   Startzahl_6 = Startzahl_5 + 1
   Ende Wenn

   Wenn Startzahl_3 > Endzahl_3 Then
   Startzahl_2 = Startzahl_2 + 1
   Startzahl_3 = Startzahl_2 + 1
   Startzahl_4 = Startzahl_3 + 1
   Startzahl_5 = Startzahl_4 + 1
   Startzahl_6 = Startzahl_5 + 1
   Ende Wenn

   Wenn Startzahl_2 > Endzahl_2 Then
   Startzahl_1 = Startzahl_1 + 1
   Startzahl_2 = Startzahl_1 + 1
   Startzahl_3 = Startzahl_2 + 1
   Startzahl_4 = Startzahl_3 + 1
   Startzahl_5 = Startzahl_4 + 1
   Startzahl_6 = Startzahl_5 + 1
   Ende Wenn

Die Zahlenkombination ist:
Startzahl_1, Startzahl_2, Startzahl_3, Startzahl_4, Startzahl_5, Startzahl_6

   Wenn Startzahl_1 = Endzahl_1 Then
   Stopwert = True
   Ende Wenn

Schleife wiederholen

Ende:

Nun kann man mit dieser Programmanweisung sämtliche mögliche Kombinationen bestimmen. Man sollte sich nur im klaren sein, daß es sich um 13.983.816 Kombinationen handelt! Wenn man alle Kombinationen abspeichern möchte, so ist zu bedenken: 6 x 13.983.816 x 1 Byte = 83.902.896 Byte = 81.936 KByte = 80 MByte (Umrechnungsfaktor 1.024, da Dualsystem). Hierbei nicht berücksichtigt ein Trennzeichen (z.B. ein Komma) oder zusätzlich noch Leerzeichen. D.h. die sechs Ziffern plus 5 Kommata und 5 Leerzeichen ergeben 213 Mbyte! Dies jedoch nur, wenn die Werte als einfacher ASCII-Code gespeichert werden. Wenn die Zahlen jedoch als Integer abgespeichert werden, so erhält man nur für die Ziffern (d.h. ohne Kommata und Leerzeichen) 160 Mbyte! (bei 2 Byte pro Ziffer)

Die Gewinnwahrscheinlichkeit in der Theorie ...

Natürlich kann man mit nur einer Zahlenreihe gleich bei der ersten Teilnahme sechs Richtige erzielen. Doch dafür ist schon viel Glück erforderlich. Statistisch sieht die Gewinnerwartung wie folgt aus:

Mit einer Tippreihe hat man auf alle möglichen Kombinationen bezogen 260.624 Gewinne. 246.820 mal 3 Richtige, 13.545 mal 4 Richtige, 258 mal 5 Richtige und 1 mal 6 Richtige. Man müßte nur eine Tippreihe 13.983.816 Wochen lang spielen (= 268.920 Jahre bei einer Ziehung pro Woche), dann hätte man - statistisch gesehen - die oben stehenden Gewinne erspielt.

Anders gesehen: mit einer (gleichen) Tippreihe hat man statistisch (bei einer Ziehung pro Woche) alle 53,7 Wochen einen Gewinn. Alle 56,7 Wochen 3 Richtige, alle 1.032 Wochen (knapp 20 Jahre!) 4 Richtige, alle 54.200 Wochen (ca. 1.042 Jahre) 5 Richtige. Und natürlich alle 13.983.816 Wochen 6 Richtige.

... und in der Praxis

Es gibt natürlich viele Auswertemöglichkeiten. Z.B. wäre es interessant zu prüfen, ob alle Kombinationen gleich oft einen Gewinn erzielen. Hierfür wurden alle Ziehungen vom 09.10.1955 bis zum 27.11.2004 analysiert. Das überraschende Ergebnis: Während es die "besten" Kombinationen auf immerhin 91 Gewinne brachten (durchschnittlich alle 28 Wochen ein Gewinn), erzielten die "schlechtesten" Kombinationen nur 15 Gewinne (durchschnittlich alle 171 Wochen ein Gewinn).
Hier kommen Sie zur ausführlichen Analyse

Bei genauerer Betrachtung fiel noch etwas auf: In jedem Jahr (bis auf 1955, da in diesem Jahr nur wenige Ziehungen stattfanden) gab es Kombinationen, die mindestens 8 mal einen Gewinn erzielten. Wenn man nun überlegt, daß pro Tipp (je nach Bundesland) etwa 1 € Einsatz fällig sind, ergibt das für 52 Wochen 52 €. Wenn man nun 9 € für den Minimalgewinn ansetzt, so ergibt sich ein Gewinn von 72 €. D.h. man erhält einen Reingewinn von 20 €. Nur müßte man eben vorher wissen, welche Kombinationen entsprechend erfolgreich sind. Von den zahllosen im Internet verfügbaren "Lottoprogrammen" würde ich jedenfalls abraten. Vor allem, wenn nicht einmal dargelegt wird was dieses Programm denn genau berechnet. D.h.: wenn überhaupt, dann sollte man nur ein "Open Source" Programm nutzen.